Beides ist möglich, es ist mehr eine Frage, worauf du wert legst. Beides hat Vor- und Nachteile.
Im Prinzip kommt es darauf an, ob dir eine kabellose Verbindung wichtig ist. Dann solltest du AirPlay mit einem Apple TV verwenden. Hat aber den großen Nachteil, dass du auf eine stabile WLAN-Verbindung angewiesen bist, besonders Bildschirmfreigabe über AirPlay erfordert niedrige Latenzen und hohe Bandbreiten, sonst wird der Stream pixelig, ruckelig und reißt ab. Da sollte man schon einen Router mit 5 GHz WLAN in geringer Entfernung verwenden, die Anforderungen sind da höher als bei Musik-Streaming etc.
Beim HDMI-Adapter bist du völlig vom WLAN unabhängig, also nicht darauf angewiesen, dass die Netzwerkverbindung gerade stabil ist, und der Anschaffungspreis ist geringer. Der Nachteil ist natürlich, dass du ein Kabel zum Fernseher brauchst, wobei das mit einem langen HDMI-kabel eigentlich auch kein Problem ist.
Ich würde daher zu einem Adapter tendieren, auch, weil man den auch problemlos mal mitnehmen und anderswo für Präsentationen / Diashows etc. Vom iPad benutzen kann. Aber wie gesagt, irgendwo ist es auch immer Geschmackssache
