Ich würde dir als erstes Empfehlen, dass du eine Wiederherstellung machst ohne ein Backup einzuspielen. Kannst trotzdem vor dem Restore ein Backup machen, falls dir deine SMS etc. wichtig sind. Falls der Restore ohne Backup nicht bringt, dann kannst das Backup ja wieder einspielen und hast so deine Savegames etc. wieder drauf. Kontakte Termine kannst du ja in der iCloud sichern.
Denke aber auch eher, dass da ein Hardware-Defekt vorliegt. Hast du noch Garantie auf dem Gerät? Wenn ja, ruf bei Apple an und lass es tauschen. Falls nicht, dann kannst entweder versuchen es selbst zu reparieren oder aber du lässt es kostenpflichtig bei Apple gegen ein Refurbished tauschen. Wenn ich das richtig raus gelesen habe dann hast du ein iPhone 5, richtig? Wenn ja, da sind die Reparaturen nicht mehr ganz so einfach wie beim iPhone 4 bzw. 4S. Hier findest du Anleitungen für verschiedene Reparaturen:
http://www.ifixit.com/Device/iPhone_5
Schau dir die mal an und entscheide dann selbst, ob du dir das zutraust.
Falls nicht, dann würde ich dir zum kostenpflichtigen Tausch bei Apple raten, dieser kostet beim iPhone 5 261,10€ per Versand oder 249€, wenn du direkt in einen Apple Store gehst.
Falls du es dir zutraust, dann fang mit dem Sleep-Button an, denn so wie du die Fehler beschreibst, scheint bei dem was nicht zu stimmen. Tausch da am besten Button und Flexkabel zusammen aus.
Wenn danach immer noch Probleme bestehen, dann muss man weiter schauen, da ist dann aber wichtig, was für Probleme es noch gibt nach dem Tausch des Sleepbuttons.
Wenn du aber auch noch Akku Probleme hast, dann kann das ein Endloses "Spiel" werden und du tauschst am Ende ein Teil nach dem anderen aus. Da wäre es dann eine Überlegung wert, das Gerät kostenpflichtig bei Apple zu tauschen.